MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICS

Obbiettivi formativi
Il corso viene erogato nel corso del primo semestre del primo anno e puo’ essere considerate come il primo corso che gli studenti vedranno al loro ingress nel Corso di Laurea. Esistendo la concreta possibilita’ di provenienze da corsi di Laurea di primo livello diverse, il corso e’ stato pensato per fornire gli strumenti matematici piu’ avanzati che permettano gli studenti di affrontare con serenita’ i successive corsi avanzati di Fisica e Chimica Fisica. Pur non essendo un corso obbligatorio per tutti, e’ fortemente raccomandato per tutti coloro che non provengano da percorsi triennali con forte contenuto di Matematica. Verra’ data particolare enfasi alle equazioni differenziali, alla soluzione dei problem agli autovalori, alla teoria delle perturbazioni e all’algebra dei commutatori, favorendo le applicazioni piuttosto che gli aspetti formali.

Obbiettivi attesi
Durante il corso, gli studenti impareranno a:
1. Essere in gradi di indentificare gli aspetti principali di un problema compless
2. Saper scomporre un problema complesso in sotto-problemi di piu’ facile soluzione
3. Saper portare a termine un calcolo complesso in complete autonomia
Alla fine del corso, ci si aspetta che gli studenti abbiamo sviluppato le seguenti abilita’:
1. Saper identificare la tecnica piu’ adatta per un determinate problema
2. Saper risolvere le piu’ comuni equazioni differenziali della Fisica
3. Saper usare la trasformata di Fourier
4. Saper calcolare autovalori e autovettori

Prerequisiti
Sono richieste le conoscenze della Matematica di base a livello di quelle tipicamente ottenute nei corsi di primo livello nelle lauree scientifiche. Una conoscenza della fisica di base e’ consigliata ma non indispensabile.

Course layout
INTRODUCTIONS (Taylor’s series, Planar polar coordinates, Complex numbers, Chain rule in differentiation, Hyperbolic functions)
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS (General definitions and simple concepts, 1st order, 1st degree differential equations , Separation of variables, Exact differential equations, Linear 1st order differential equations, Bernoulli equation, Higher order differential equations homogeneous and with constant coefficients, Particular solution evaluation)
FOURIER ANALYSIS AND DIRAC δ-FUNCTION (Basic idea of the Fourier expansion, Fourier series, Conjugate variables, Advantages, uses of Fourier series, Complex form, Fourier transform, Dirac δ-function and representations, Proprieties of the Dirac δ-function, Relation between Dirac δ-function and Fourier transform, Convolution theorem, Parseval theorem. Fourier transform of a derivative, Fourier transform of a real function, Gaussian integrals, Fourier transform of a Gaussian, Solution of diffusion equation)
VECTOR ANALYSIS (Basic concepts in Matrices, Orthogonal transformations, Scalar, vector and tensor fields, Differential operators, Gauss theorem and divergence, Stokes theorem and Curl)
VECTOR SPACES (Linear independence and basis, Linear transformations, Inverse linear transformations and existence conditions, Matrix representation with respect to a basis, Special classes of matrices, Determinant and relative properties, Similarity transformations, System of linear equations, Eigenvalue problem, Examples of eigenvalues and eigenvectors, Normal modes of a triatomic molecule)
HILBERT SPACES (Scalar product and pre-Hilbert spaces, Hilbert spaces, Hermitian operators, Unitary operators, Dirac ket-bra formalism, {X} e {P} representations and L2 Hilbert space, Commutators and uncertainty principle, Functions of operators and commutator algebra, Translation operator T)
Additional topics
GREEN FUNCTIONS AND INTEGRAL EQUATIONS
CALCULUS OF VARIATIONS

Suggested reading
G. B. Arfken and H.Weber Mathematical Methods for Physicists (Elsevier 2005) [BAS]

D. McQuarrie Mathematical Methods for Scientists and Engineering (University Science Books 2003) [BAS]

Esami
Scritto e orale
Descrizione esame
Il voto finale sara’ la media del voto dell’ esame orale (che vale il 50% del punteggio totale) e della media dei voti riportati negli homeworks che verranno assegnati durante il semestere e che peseranno per l’ altro 50%. Tutti gli homeworks devo essere consegnati alla scandenza prevista, pena il non accesso alla parte orale. Eventuali ritardi verranno penalizzati in termini di punteggi. Il tempo medio per ogni homework e’ di circa tre settimane.

Metodi didattici
Tutte le lezioni saranno svolte alla lavagna con tutti i dettagli. Appunti ed altro material didattico verra’ messo a disposizione degli studenti tramite la piattaforma Moodle

Inglese

scritto e orale