NUMERICAL ALGORITHMS

Questo corso consentirà allo studente di comprendere il significato e le potenzialità di semplici algoritmi numerici, con l'obiettivo di implementarli e produrre un'analisi di correttezza operativa del codice ottenuto.

La frequenza e la partecipazione alle attività formative proposte nel corso e lo studio individuale consentiranno agli studenti di:

1. (Conoscenza e comprensione)
--- conoscenza e comprensione dei concetti base del Calcolo numerico
--- conoscenza e comprensione dei principali algoritmi numerici per la risoluzione di problemi matematici

2. (Capacità di applicare conoscenza e comprensione)
-- capacita di implementare al calcolatore semplici algoritmi numerici per la risoluzione
-- capacità di stabilire le condizioni di convergenza di algoritmi numerici
-- capacità di integrare numericamente equazioni differenziali ordinarie;
-- capacità di approssimare la soluzione di equazioni non lineari e di sistemi lineari.

3. (Capacità di giudizio)
-- interpretare correttamente i risultati di un programma numerico.

Lo studente deve conoscere i fondamenti dell'Algebra Lineare e del Calcolo Infinitesimale in una e più variabili reali.

- Numeri floating-point. Programmare in MATLAB.
- Soluzione numerica di equazioni non lineari: metodi di Picard, di Newton, e della secante. Estensione a sistemi non lineari.
- Approssimazione di dati e interpolazione numerica.
- Integrazione numerica: metodo dei trapezi e Cavalieri-Simpson.
- Metodi numerici per la soluzione di Equazioni differenziali ordinarie: metodi di Eulero, Cranck-Nicolson, e metodo di Runge-Kutta. Convergenza, consistenza e stabilità. Estensione a sistemi di ODE.
- Risoluzione di sistemi lineari: metodi diretti e iterativi. Metodo del gradiente coniugato per la soluzione di sistemi sparsi.
(- Metodi alle differenze finite ed accenni al metodo degli elementi finiti per la soluzione di equazioni differenziali ellittiche)

A. Quarteroni, F. Saleri, e P. Gervasio. Scientific Computing with MATLAB and Octave. Springer Verlag, 2010.

Durante il corso verrà richiesto lo svolgimento di quattro esercitazioni in cui implementare e testare i metodi teorici visti in classe.

1) La prima esercitazione riguarderà un problema di marketing che si traduce in un'equazione non lineare in una variabile. Gli studenti dovranno confrontare le presentazioni di diversi algoritmi numerici per risolvere questo problema. Nella seconda parte dell'esercitazione gli studenti dovranno estendere gli algoritmi implementati al caso in più variabili.

2) La seconda esercitazione riguarderà i metodi di approssimazione e interpolazione dei dati, con particolare applicazione ai dati epidemiologici di COVID-19 raccolti in Italia nei primi mesi dell'epidemia.

3) La terza esercitazione riguarderà il confronto dei metodi analizzati in classe per la soluzione di un sistema lineare sparso di grandi dimensioni.

4) La quarta esercitazione si focalizzerà sulla modellizzazione matematica di un'epidemia attraverso un sistema di equazioni differenziali non lineari. Gli studenti dovranno prima confrontare i diversi integratori numerici visti in classe su un'equazione test lineare, e poi utilizzare tali solutori per la modellizzazione dei primi mesi dell'epidemia di COVID-19 in Italia.

Per ogni esercitazione gli studenti dovranno consegnare un report in cui presentare i risultati ottenuti.

Durante l'esame orale verrà richiesto agli studenti di discutere i risultati presentati nei report e si verificherà la capacità dello studente di collegare tali risultati alle proprietà numeriche degli algoritmi utilizzati. In particolare verrà richiesto agli studenti di saper scrivere le equazioni matematiche di questi algoritmi e di saper ripercorrere i passi principali delle dimostrazioni sulle loro proprietà

scritto e orale

Lezioni frontali, esercizi teorici ed esercitazioni al calcolatore. Uso della piattaforma Moodle per proporre esercizi e materiali integrativi.

Lingua di insegnamento: Inglese