MATHEMATICS - 1

Questo è il primo dei due moduli obbligatori del corso di matematica del primo anno. Lo scopo è fornire tutti gli strumenti fondamentali in calcolo e algebra lineare utilizzati nelle discipline economiche e manageriali, insieme a esempi e modelli di vocazione economica.

In "Matematica I" si presta particolare attenzione ai problemi di massimizzazione e minimizzazione di funzioni di una variabile, come preparazione all'ottimizzazione in più variabili (discussa nella seconda parte del corso).

Alla fine di "Matematica I", gli studenti dovrebbero aver acquisito i fondamenti del calcolo in una variabile. In particolare, gli studenti dovrebbero aver acquisito le seguenti competenze.

a) Conoscenza e comprensione
a.1) Conoscenza delle definizioni di base del calcolo in una variabile, come: derivate, limiti, integrali;
a.2) Interpretazione delle suddette definizioni in termini di proprietà geometriche, supportata da una serie di esempi cruciali.

b) Capacità di applicare conoscenze e comprensione
b.1) Capacità di calcolare, per funzioni di una variabile: derivate, limiti, integrali (elementari, per parti, per sostituzione);
b.2) Capacità di analizzare le proprietà delle funzioni di una variabile, come monotonia, convessità, comportamento nel lungo periodo;
b.3) Capacità di calcolare punti stazionari e punti di flessione; capacità di massimizzare/minimizzare una quantità descritta da una funzione a una variabile, in particolare quando descrive una variabile economica;
b.3) Capacità di interpretare tutte le proprietà sopra citate in esempi di vocazione economica/manageriale.

c) Abilità di apprendimento
c.1) Miglioramento della capacità di gestire un linguaggio formale, fare deduzioni logiche; potenziamento del pensiero razionale rigoroso;
c.2) Miglioramento della capacità di tradurre un problema in termini formali, risolverlo e interpretare la soluzione in termini del problema originale.

Gli studenti non devono avere debiti didattici (Additional Learning Requirements, ALR).

Gli argomenti solitamente insegnati nelle scuole superiori sono considerati noti. In particolare: le basi della teoria degli insiemi, dei numeri reali; operazioni algebriche e proprietà dei numeri reali; potenze e radici frazionarie, valori assoluti; equazioni e disequazioni di primo/secondo ordine, di tipo razionale, irrazionale, esponenziale e logaritmico; funzioni lineari e quadratiche; funzioni esponenziali e logaritmiche; elementi di geometria analitica: coordinate cartesiane, distanza tra punti nel piano, rette, parabole, ellissi, iperboli e le loro equazioni e grafici nel piano.

a) Derivata di una funzione
a.1) Definizione e interpretazione geometrica. Regole di differenziazione.
a.2) Approssimazione lineare.
a.3) Funzioni crescenti/decrescenti.
a.4) Tassi di cambiamento e applicazioni a esempi economici.
a.5) Derivata dell'inversa.

b) Limiti
b.1) Definizione. Operazioni con i limiti. Forme indefinite.
b.2) Regola di L'Hôpital.
b.3) Limiti notevoli. Confronto tra infiniti di diverso ordine.
b.4) Cambio di variabili nei limiti.


c) Funzioni continue
c.1) Definizione ed esempi.
c.2) Condizioni necessarie e sufficienti di continuità tramite limiti sinistri/destri. Applicazione a funzioni definite a tratti.
c.3) Teorema del valore intermedio e applicazioni.
c.4) Derivata sinistra/destra. Condizioni sufficienti di derivabilità tramite limiti sinistri e destri.
c.5) Legami tra continuità e derivabilità.

d) Ottimizzazione
d.1) Definizione di punto di massimo e minimo. Punti stazionari.
d.2) Condizioni di ottimalità del primo e secondo ordine.
d.3) Teorema di Weierstrass. Ottimizzazione su un intervallo compatto.
d.4) Esempi economici.

e) Concavità/Convessità
e.1) Insiemi convessi.
e.2) Definizione di funzioni convesse e concave.
e.3) Condizioni necessarie e sufficienti di convessità.
e.4) Punti di flessione. Convessità e derivata seconda.
e.5) Esempi di funzioni concave significative in Economia.

f) Integrazione
f.1) Regole di integrazione, primitiva.
f.2) Integrale di Riemann, integrali definiti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni integrali.
f.3) Esempi economici.
f.4) Integrali impropri.

K. Sydsaeter, P. Hammond and A. Strom, Essential Mathematics for Economic Analysis, Pearson.


Inoltre, le slide delle lezioni, esercizi per casa e i precedenti esami (risolti) sono disponibili sulla pagina moodle del corso.

Il voto si basa su un esame scritto finale, che include tutti gli argomenti trattati in Matematica I e Matematica II, e un esame orale facoltativo.

L'esame scritto consiste in 6 problemi, di cui 3 sugli argomenti di Matematica I e 3 su quelli di Matematica II, da risolvere in un tempo totale di 2 ore e 30 minuti. Le abilità acquisite dagli studenti sono verificate tramite la richiesta di risolvere i problemi. La loro conoscenza è verificata chiedendo di giustificare in dettaglio le risposte, sulla base dei risultati teorici (definizioni e teoremi).

L'esame è a libri e appunti chiusi, ma gli studenti possono utilizzare una calcolatrice tascabile (le calcolatrici scientifiche che calcolano derivate e integrali, o che disegnano grafici, non sono ammesse).

L'esame orale è facoltativo sia per lo studente che per il docente. Gli studenti che desiderano migliorare il proprio voto possono richiederlo (vedere i dettagli nella sezione successiva). D'altra parte, il docente può richiedere agli studenti di sostenere un esame orale obbligatorio, a sua insindacabile discrezione.

L'esame scritto è anche proposto in due parti separate (Parte 1, esame intermedio; Parte 2, esame finale), corrispondenti alle metà di Matematica I e Matematica II, che si svolgono durante e dopo il periodo del corso.

scritto e orale

Maggiori Dettagli sull'Esame Scritto

L'esame scritto si considera superato se lo studente ottiene almeno 8 punti sia nella Parte I che nella Parte II, corrispondenti rispettivamente agli esercizi 1-3 e 4-6, e totalizza almeno 18 punti complessivi.

I punti disponibili (circa 6 per ogni esercizio) sono così distribuiti:

18-20 punti per domande basilari;
6-8 punti per domande di difficoltà moderata;
6-8 punti per domande più complesse.
Se le risposte non sono adeguatamente giustificate, il loro valore è zero. È quindi importante spiegare cosa si sta facendo e perché.

Generalmente, ci sono 6 punti extra oltre i 30 corrispondenti al voto massimo. I punti aggiuntivi danno diritto allo studente a ricevere la lode. Il totale dei punti è 36, con 18 che corrispondono a un voto di 18/30 (voto minimo per superare l'esame) e 30 che corrispondono a un voto di 30/30.

Esempi di esami con soluzioni complete e criteri di valutazione sono disponibili nella pagina Moodle del corso.

Dettagli sull'Esame Orale

Gli studenti che ottengono 16 o più all'esame scritto possono accedere all'esame orale se desiderano migliorare il loro voto.

Per i punteggi dell'esame scritto pari o superiori a 18, l'esame orale si concentrerà esclusivamente su domande di teoria.
Per i punteggi dell'esame scritto di 16 o 17, l'esame orale inizierà con 1-2 esercizi mirati a rafforzare le aree più deboli emerse dalla prova scritta. Una volta raggiunta la sufficienza (18), e se lo studente lo desidera, l'esame orale potrà proseguire con domande di teoria per aumentare ulteriormente il voto finale.
Il voto dell'esame orale può influenzare il voto finale in un intervallo tipico di +/- 3 punti.
L'esame orale è obbligatorio se la prova scritta è stata svolta online.

L'apprendimento avviene attraverso lezioni frontali ed esercitazioni, oltre che con il ricevimento settimanale. In particolare, durante il corso, il ricevimento è collettivo. Gli studenti possono fare domande o semplicemente sedersi ad ascoltare le domande degli altri studenti e le risposte dell'insegnante. È anche possibile avere ulteriore aiuto su appuntamento.

Lo studio è supportato da materiali disponibili per il download sulla pagina Moodle del corso, inclusi:

a) l'insieme completo di slide/appunti delle lezioni;
b) un foglio settimanale di esercizi per casa;
c) testo e soluzione degli esami precedenti;
d) tutte le informazioni rilevanti sul corso e aggiornamenti in tempo reale.

Gli studenti devono registrarsi nel corso correlato sulla piattaforma di apprendimento online dell'università moodle.unive.it.

Accessibilità, Disabilità e Inclusione
Alloggio e servizi di supporto per gli studenti con disabilità e studenti con specifiche difficoltà di apprendimento

Ca' Foscari si attiene alla Legge italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) riguardante i servizi di supporto e gli alloggi disponibili per gli studenti con disabilità. Ciò include studenti con disabilità motorie, visive, uditive e altre disabilità (Legge 17/1999), e specifiche difficoltà di apprendimento (Legge 170/2010). Se hai una disabilità o un disturbo che richiede supporti (ad esempio, test alternativi, lettori, prenditori di appunti o interpreti), ti preghiamo di contattare gli Uffici per la Disabilità e l'Accessibilità nei Servizi agli Studenti: disabilita@unive.it.