ISTITUZIONI DI MATEMATICA CON ESERCITAZIONI - MOD.2

L’insegnamento ricade tra le attività formative di base nelle discipline matematiche fisiche e statistiche del corso di laurea. Il corso e finalizzato al raggiungimento e consolidamento delle conoscenze e competenze riguardanti i fondamenti teorici e applicativi basilari del calcolo integro-differenziale, delle elementari equazioni differenziali e dell'algebra lineare, che sono alla base dei modelli matematici e degli strumenti utilizzati nei programmi di diversi corsi a carattere quantitativo del curriculum di Scienze Ambientali. L’insegnamento contribuisce al raggiungimento degli obiettivi formativi del corso di studio, in particolare allo sviluppo delle competenze matematiche per l’analisi di fenomeni ambientali.

La frequenza e la partecipazione alle attività formative proposte nel corso e lo studio individuale daranno agli studenti le seguenti conoscenze e capacità:

1. (Conoscenza e comprensione)
1.1 conoscere gli elementi matematici di base del continuo e comprendere il ragionamento deduttivo.
1.2 conoscere i principali operatori in campo vettoriale.
1.3 conoscere i fondamenti dell'Analisi Matematica.
1.4 conoscere i fondamenti dell'Algebra Lineare.

2. (Capacità di applicare conoscenza e comprensione)
2.1 saper riconoscere e risolvere semplici equazioni differenziali ordinarie.
2.2 saper applicare gli elementi fondamentali del calcolo differenziale nello studio di funzioni a due variabili.
2.3 saper applicare gli elementi fondamentali del calcolo integrale per la risoluzione di integrali indefiniti e definiti.
2.4 saper impostare e risolvere un sistema lineare.

3. Capacità di giudizio
3.1 saper esprimere un problema fisico mediante una formulazione matematica con l'individuazione dello strumento più adatto per la sua risoluzione.
3.2 saper formulare ipotesi per l’impostazione di un sistema lineare a partire da un problema reale.
3.3 saper controllare la fedeltà del modello matematico ai vincoli di un problema reale.

4. Abilità comunicative
4.1 Saper comunicare con chiarezza ed efficacia i risultati di uno studio quantitativo sia in forma scritta che orale.
4.2 Saper interagire con il docente e gli altri studenti nel corso delle lezioni e dello svolgimento di esercizi.

5. Capacità di apprendimento
5.1 Saper prendere appunti e interagire con il docente attraverso una attiva partecipazione alle lezioni teoriche e durante le esercitazioni.
5.2 Saper esaminare i propri progressi nell’apprendimento della materia in varie tappe attraverso test di autovalutazione.

Buona conoscenza teorica e operativa dei fondamenti di Algebra, Geometria e Trigonometria delle Scuole superiori e dei concetti e algoritmi di base del Calcolo Differenziale (limiti, derivate) trattati nel modulo 1 del corso.
In caso di lacune pregresse, è utile frequentare il corso di Matematica di Base.

ALGEBRA LINEARE

• Spazi vettoriali

• Vettori
- Vettori nello spazio bi-tridimensionale
- Rappresentazione analitica e geometrica di vettori
- Somma e differenza di vettori
- Vettori nello spazio n-dimensionale
- Modulo di un vettore
- Prodotti vettoriali (scalare per vettore; prodotto scalare, vettoriale)

• Matrici e Sistemi Lineari
- Prodotto matriciale
- Sistemi Lineari
- Determinante di una matrice
- Rango di una matrice
- Teorema di Cramer
- Autovalori e autovettori



ANALISI MATEMATICA

• Integrazione
- Definizione di integrale
- Proprietà principali dell'integrale
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Primitive
- Integrazione per parti
- Integrazione per sostituzione
- Integrali impropri


• Funzioni a due variabili
- Derivate parziali
- Punti stazionari
- Matrice Hessiana
- Caratterizzazione degli estremi di una funzione

• Integrazione di funzioni a due variabili
- Integrazione su rettangoli;
- Integrazione su trapezoidi


• Equazioni differenziali
- Equazioni differenziali del primo ordine lineari
- Equazioni differenziali a variabili separabili
- Problema di Cauchy

Si consiglia la consultazione del testo: Matematica per le scienze - Con fondamenti di probabilità e statistica. Autori: Bramanti, Confortola e Salsa, Zanichelli, 2024, disponibile nella biblioteca di dipartimento.
Ampia collezione di materiale vario sarà resa disponibile attraverso la piattaforma di didattica online moodle.

Esame Modulo 2: consiste in una prova scritta, di durata massima pari a due ore, con problemi a risposta aperta allo scopo di verificare la capacità degli studenti di risolvere equazioni differenziali, caratterizzare gli estremi di una funzione a due variabili, calcolare integrali a una o due dimensioni, affrontare problemi relativi al calcolo vettoriale di base e risolvere semplici sistemi lineari. Non sono previste prove intermedie. Durante la prova scritta, gli studenti possono consultare un foglio A4 contenente note di teoria. Il voto della prova è dato dalla somma dei punti assegnati ai singoli problemi: qualche problema è costituito da alcune domande il cui punteggio è proporzionale alla difficoltà intrinseca. Il superamento dell'esame avviene con punteggio minimo di 18. Sulla piattaforma Moodle del corso saranno pubblicate alcune tracce degli anni precedenti.

Indicazioni per il voto finale di Istituzioni di Matematica.
Solo gli studenti che hanno superato l'esame del Modulo 1 possono sostenere il Modulo 2. E' possibile sostenere entrambi i moduli 1 e 2 nella stessa giornata, in tale rigorosa successione. Il voto finale dell'esame di Istituzioni di Matematica sarà la media dei voti dei due moduli (con approssimazione per eccesso). La lode del voto finale è assegnata solo con unanime approvazione di entrambi i docenti. Il voto del modulo 1 è ritenuto valido fino al superamento del modulo 2: gli studenti sono comunque caldamente consigliati a superare entrambi i moduli nello stesso anno accademico.

scritto

Il/la docente ha il dovere di vigilare affinché siano rispettate le regole di autenticità e originalità delle prove d'esame. Di conseguenza, nei casi in cui vi sia il sospetto di un comportamento irregolare, l'esame può prevedere un ulteriore approfondimento, contestuale alla prova d'esame, che potrà essere realizzato anche in modalità differente rispetto alle modalità sopra riportate.

Griglia di valutazione:
A. fascia 18-22
- sufficiente conoscenza e capacità di comprensione in riferimento al programma;

B. fascia 23-26
- discreta conoscenza e capacità di comprensione in riferimento al programma;
- discreto rigore nella conduzione degli esercizi;

C. fascia 27-30
- buona o ottima conoscenza e capacità di comprensione in riferimento al programma,
- ottimo rigore nella conduzione degli esercizi;

D. la lode verrà attribuita in presenza di conoscenza e capacità di comprensione eccellenti, alto rigore matematico e ottima abilità di esposizione.

- Lezioni frontali;
- Esercitazioni in classe;
Le lezioni frontali e le esercitazioni in aula mirano allo sviluppo delle conoscenze teoriche e delle abilità operative nella risoluzione di problemi matematici applicati.
I materiali didattici sono resi disponibili su Moodle per supportare lo studio individuale e l’apprendimento autonomo.

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