ANALISI MATEMATICA - MOD. 1

Il modulo 1 del corso di “Analisi Matematica 1” sta nell’ambito matematico e logico-fondazionale del Corso di Laurea in Informatica. Si tratta di un corso di base in cui si studiano le proprietà di una funzione reale a variabile reale ed è propedeutico al modulo 2 di Analisi Matematica.
Nel modulo vengono trattati argomenti di calcolo infinitesimale da usare per studiare l’andamento di una grandezza (una variabile reale) da come ne varia un’altra, caratterizzandone sia l’andamento asintotico e nei punti singolari, sia le proprietà di variazioni e di accumulo.
Il tema viene affrontato scomponendolo in quattro nodi: le definizioni e i problemi di contesto preliminari, lo studio dei limiti per l’andamento asintotico e nei punti singolari, lo studio delle derivate per determinare le variazioni delle funzioni, il calcolo integrale per quanto riguarda i problemi di accumulo. Lo scopo del corso è quello di acquisire gli strumenti concettuali e di calcolo per studiare le caratteristiche di una funzione reale di variabile reale, di calcolarne le primitive e l’integrale definito.

Alla fine del corso di “Analisi matematica 1” gli studenti avranno compreso l’uso del calcolo come strumento di analisi delle caratteristiche e delle proprietà delle funzioni reali di variabile reale. Più in particolare, attraverso un approccio per problemi, essi conosceranno le definizioni e le procedure di calcolo dei limiti, delle regole di derivazione e integrazione. Avranno, inoltre, svolto esercizi di applicazione delle conoscenze e della comprensione dei concetti svolti per acquisire o consolidare le procedure e le tecniche di calcolo e di risoluzione dei problemi sui temi trattati a lezione.
Per quanto riguarda, invece, il consolidamento del proprio metodo di apprendimento e lo sviluppo di capacità di comunicazione scritta - della matematica e del problem solving di matematica - sono previste alcune azioni specifiche a carattere metacognitivo.

Non sono richiesti prerequisiti, è sufficiente possedere il titolo di accesso al Corso di Studi di Informatica e avere assolto agli eventuali Obblighi formativi aggiuntivi. Con questo si intende che sono sufficienti le nozioni di matematica di base acquisite frequentando la scuola secondaria di secondo grado. In particolare, conoscenze e abilità riguardo le coordinate cartesiane, le funzioni goniometriche, logaritmiche ed esponenziali, la risoluzione di equazioni e disequazioni di tutti i tipi.

1. Il concetto di funzione
Conoscenze e comprensione
- Definizione di funzione da R a R: dominio, codominio e immagine
- Definizione di funzione da N a R
- Definizione di serie numerica
- Invertibilità di una funzione e definizioni di funzione inversa
Capacità di risolvere problemi di base
- Determinare dominio e codominio di una funzione
- Problemi per lo sviluppo delle competenze
- Studiare dominio e segno di funzioni e definire le zone di piano in cui giace il loro grafico
Problemi per lo sviluppo delle competenze personali, di studio e di aggiornamento
- Costruire schemi e riassunti da usare, adattandoli, per imparare e per allenarsi

2. Andamento asintotico di una funzione e singolarità di prima specie
Conoscenze e comprensione
- Definizione di intorno e di punto di accumulazione
- Definizione di limite e algebra dei limiti
- Limiti notevoli
I- nfinitesimi e infiniti
- Teorema di unicità, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto
Capacità di risolvere problemi di base
- Calcolare il limite di una funzione in un intorno di un punto di accumulazione
- Risolvere le forme indeterminate riconducendole ai limiti notevoli
Problemi per lo sviluppo delle competenze
- Studiare i limiti di una funzione
- Rappresentare sul piano cartesiano l’andamento asintotico di una funzione
Problemi per lo sviluppo delle competenze personali, di studio e di aggiornamento
- Concordare schemi e convenzioni da rispettare per svolgere una prova scritta di matematica
- Costruire schemi e riassunti da usare, adattandoli, per imparare e per allenarsi

3.A. Variazione di una funzione
Conoscenze e comprensione
- Definizioni di continuità e differenziabilità di una funzione
- Definizione di derivata prima, derivate di ordine superiore
- Regole di derivazione
- Derivata della funzione inversa di una funzione data
- Continuità e derivabilità.
- Teorema di Rolle, teorema di Lagrange, teorema di Cauchy, regola di De l’Hospital
Capacità di risolvere problemi di base
- Calcolare le derivate di una funzione
- Calcolare la tangente al grafico di una funzione in un suo punto
Problemi per lo sviluppo delle competenze
- Studiare la variazione di una funzione usando la derivata prima
- Studiare la concavità di una funzione usando la derivata seconda
- Tracciare il grafico di una funzione
Problemi per lo sviluppo delle competenze personali, di studio e di aggiornamento
- Documentare uno scritto di matematica sullo studio di funzione
- Costruire schemi e riassunti da usare, adattandoli, per imparare e per allenarsi


3.B. Approssimare una funzione con un polinomio
Conoscenze
- Polinomio di Taylor
Capacità di risolvere problemi di base
- Calcolare il polinomio di Taylor di una funzione
- Problemi per lo sviluppo delle competenze
Usare lo sviluppo di Taylor per calcolare i limiti delle funzioni

4. Calcolo integrale
Conoscenze
- Integrale definito: calcolo di aree e di volumi
- Integrale indefinito: calcolo delle primitive di una funzione
- Teorema di Torricelli-Barrows
- Metodi di integrazione
Capacità di risolvere problemi di base
- Calcolare integrali definiti e indefiniti
Problemi per lo sviluppo delle competenze
- Calcolare il volume di solidi di rotazione
Problemi per lo sviluppo delle competenze personali, di studio e di aggiornamento
- Costruire schemi e riassunti da usare, adattandoli, per imparare e per allenarsi

Materiale di studio viene fornito nella piattaforma Moodle del corso.

Sono disponibili online le seguenti dispense:
-- Luciano Battaia, Introduzione al Calcolo differenziale http://www.batmath.it/matematica/0-appunti_uni/testo_analisi.pdf
-- Per il calcolo integrale: Luciano Battaia, Appunti per un corso di matematica http://www.batmath.it/matematica/0-appunti_uni/corso-ve.pdf (capitolo 7)

Per la consultazione sono utili i seguenti testi:
-- Bramanti Pagani Salsa. Analisi Matematica 1, Zanichelli
-- Salsa Squellati. Esercizi di Analisi Matematica 1. Zanichelli

Indicazioni per l’esame e la valutazione del modulo 1 di Analisi Matematica.
L’esame consiste in una prova scritta della durata di due ore con problemi a risposta aperta di analisi matematica per funzioni di una variabile.
Durante la prova scritta, gli studenti possono consultare un foglio A4 contenente schemi e riassunti di teoria che hanno costruito durante il corso. Lo scritto è superato col 60% del punteggio totale. Il voto massimo dell'esame scritto è 30.
Gli studenti che hanno superato lo scritto possono, se lo vogliono, sostenere un esame orale: nell’orale lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti teorici di base introdotti nel corso e i principali teoremi e di saperli esporre in modo formale.
L'esito complessivo dell’esame può essere inferiore (con eventuale bocciatura), pari o al massimo superiore di 3 voti rispetto al voto dello scritto. La lode viene assegnata solo agli studenti che hanno superato lo scritto almeno con 28 e hanno dimostrato padronanza dei contenuti teorici nella prova orale.

Indicazioni per l’esame e la valutazione complessiva di Analisi Matematica.
Solo gli studenti che hanno superato l'esame del Modulo 1, come prova intermedia, possono sostenere il Modulo 2 di Analisi matematica. È possibile sostenere l’esame completo svolgendo le prove di entrambi i moduli, 1 e 2, nella stessa giornata, ma in tale rigorosa successione. Il voto finale dell'esame di Analisi Matematica sarà la media dei voti dei due moduli (con approssimazione per eccesso). La lode del voto finale viene assegnata solo con unanime approvazione di entrambi i docenti. Il voto del modulo 1 resta valido fino al superamento del modulo 2, ma gli studenti sono caldamente consigliati a superare entrambi i moduli di Analisi nello stesso anno accademico.

scritto e orale

La fascia di voti nell’intervallo 18-22 indica un livello base di conoscenza dei contenuti e una capacità di applicazione delle conoscenze per risolvere problemi dello stesso livello: indica sufficienza globale nella prova e uno sviluppo delle competenze a livello di base.

La fascia di voti nell’intervallo 23-26 indica un livello di conoscenza dei contenuti e una capacità di applicazione delle conoscenze per risolvere problemi a livello intermedio di competenza, compreso un certo rigore nel condurre gli esercizi. Indica una prova globalmente buona e uno sviluppo delle competenze a livello intermedio.

La fascia di voti nell’intervallo 27-30 indica un livello di conoscenza dei contenuti e una capacità di applicazione delle conoscenze per risolvere problemi avanzata. Si nota anche l’ottimo rigore nella conduzione degli esercizi. Indica una prova ottima e uno sviluppo della competenza di livello avanzato.

La lode verrà attribuita in presenza di conoscenza e capacità di comprensione eccellenti sia per quanto riguarda la conoscenza dei contenuti sia l’applicazione alla risoluzione dei problemi. Indica il raggiungimento dei livelli più avanzati di sviluppo della competenza.

Lezioni frontali ed esercitazioni d’aula. Alcuni esercizi e materiali integrativi sono disponibili nella piattaforma di e-learning Moodle di ateneo.