NUMERICAL METHODS

Questo corso è una delle attività formative caratterizzanti del corso di Laurea Magistrale e consente allo studente di acquisire la conoscenza e la comprensione dei concetti fondamentali e applicativi dell'analisi numerica.
L'obiettivo del corso è fornire conoscenze di base sull'analisi numerica per problemi di algebra lineare, integrazione numerica ed equazioni differenziali.
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di approssimare vari problemi di natura matematica e di scegliere il miglior algoritmo per il problema affrontato.

Conoscenza e comprensione
Al termine del corso, gli studenti avranno acquisito nozioni e risultati relativi ai metodi per la soluzione numerica di sistemi lineari ed equazioni non lineari, problemi agli autovalori, approssimazione di funzioni, dati e integrali, nonché alla discretizzazione di equazioni differenziali. Inoltre, avranno appreso tecniche per l'implementazione di algoritmi finalizzati alla soluzione efficiente dei problemi trattati.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Gli studenti che supereranno l’esame saranno in grado di utilizzare le metodologie illustrate nel corso per la soluzione numerica di sistemi lineari ed equazioni non lineari, problemi agli autovalori, approssimazione di funzioni, dati e integrali e discretizzazione di equazioni differenziali. Inoltre, saranno in grado di prevedere le prestazioni degli algoritmi in base alle caratteristiche del problema affrontato.

Autonomia di giudizio
Gli studenti che supereranno l’esame saranno in grado di scegliere gli algoritmi più adatti alla soluzione del problema considerato tra quelli studiati nel corso, avendo acquisito anche gli strumenti per apportare eventuali modifiche necessarie a migliorarne le prestazioni.

Capacità comunicative
Gli studenti svilupperanno la capacità di presentare in modo chiaro i concetti, le idee e le metodologie trattate nel corso.

Capacità di apprendimento
Le conoscenze acquisite permetteranno agli studenti che supereranno l’esame di affrontare, autonomamente o all'interno di un corso di Laurea Magistrale, lo studio di aspetti più specialistici dell'algebra lineare numerica e della modellizzazione numerica per problemi differenziali, comprendendo la terminologia specifica e individuando le questioni più rilevanti.

Analisi Matematica I, Algebra Lineare, Informatica, Analisi Matematica II

Fondamenti
- Concetti di base del Calcolo Scientifico: errore di modello, errore di troncamento, errore di arrotondamento, errori computazionali.
- Metodi numerici per l'approssimazione di sistemi lineari: metodi diretti (eliminazione di Gauss, fattorizzazione LU, pivoting); metodi iterativi (Richardson stazionario, metodi del gradiente e del gradiente coniugato, condizioni di convergenza, criteri di arresto); stabilità e accuratezza della soluzione.
- Metodi numerici per l'approssimazione degli autovalori: metodi delle potenza dirette e inverse con shift.
- Metodi numerici per equazioni non lineari: metodo di Newton e iterazioni di punto fisso; estensione al caso vettoriale.
- Metodi numerici per l'interpolazione: interpolazione polinomiale e approssimazione ai minimi quadrati.
- Metodi numerici per l'integrazione numerica: formule di quadratura; formule di Newton-Cotes (del punto medio, trapezoidale e di Simpson, semplici e composte) e formule gaussiane.

Equazioni Differenziali Ordinarie (ODEs)
- Analisi teorica.
- Metodi a un passo (Eulero, Crank-Nicolson) e metodi di ordine superiore (Runge-Kutta); consistenza, stabilità zero, convergenza, stabilità assoluta; estensione ai sistemi di ODEs.

Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDEs)
- Classificazione delle PDEs: condizioni al contorno e iniziali, interpretazione fisica.
- Metodo delle Differenze Finite per equazioni ellittiche e paraboliche.
- Metodo degli Elementi Finiti per equazioni ellittiche e paraboliche.

Il corso include attività di laboratorio per lo sviluppo di codici MATLAB.

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, “Numerical mathematics”, Springer
A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, “Scientific Computing with MATLAB and Octave”, Springer

Lo studente deve dimostrare di aver acquisito conoscenze sui temi e metodi più rilevanti trattati nel corso e di essere in grado di discuterne l'implementazione in MATLAB attraverso una prova scritta (composta da domande a scelta multipla e a risposta lunga) e una discussione orale opzionale.

Gli esami programmati nel calendario accademico possono essere sostituiti da due prove intermedie svolte durante il corso.

Durante il semestre, gli studenti possono scegliere di svolgere fino a due progetti pratici, coerenti con le tematiche del corso e proposti dal docente. I progetti sono facoltativi e valutati separatamente. La valutazione contribuisce al voto finale tramite un bonus di massimo 3 punti, da sommarsi al punteggio ottenuto nelle prove d’esame.

scritto e orale

Lo studente/La studentessa

18-21: possiede comprensione di base con lacune; è in grado di applicare metodi numerici semplici; la sua implementazione del codice richiede supporto.

22-23: è competente nei concetti fondamentali; è in grado di risolvere problemi di base, ma ha difficoltà con analisi più approfondite e stabilità.

24-27: possiede buona comprensione della maggior parte dei metodi numerici; il suo codice implementato è per lo più funzionale.

28-29: ha solida comprensione teorica e computazionale; è in grado di analizzare precisione e stabilità; la sua implementazione del codice è efficiente.

30: ha padronanza di tutti gli argomenti; giustifica le scelte metodologiche in modo rigoroso; il suo codice è ottimizzato e ben strutturato.

30 cum laude: dimostra eccezionale capacità di analisi e pensiero critico; estende i metodi oltre il programma; la sua implementazione del codice è avanzata ed elegante.

Lezioni frontali (67%) - Esercitazioni e MATLAB (33%)

Esame: Prova scritta e esame orale opzionale.
Bonus: 2 progetti pratici opzionali.