MATHEMATICS - 2
- Anno accademico
- 2026/2027 Programmi anni precedenti
- Titolo corso in inglese
- MATHEMATICS - 2
- Codice insegnamento
- ET2018 (AF:710280 AR:426525)
- Lingua di insegnamento
- Inglese
- Modalità
- In presenza
- Crediti formativi universitari
- 6 su 12 di MATHEMATICS
- Livello laurea
- Laurea
- Settore scientifico disciplinare
- STAT-04/A
- Periodo
- 2° Periodo
- Anno corso
- 1
- Sede
- VENEZIA
- Spazio Moodle
- Link allo spazio del corso
Inquadramento dell'insegnamento nel percorso del corso di studio
Questo è il secondo dei due moduli obbligatori del corso del primo anno di matematica. Si propone di fornire tutti gli strumenti fondamentali in calcolo e algebra lineare utilizzati nelle discipline economiche e manageriali, insieme a esempi e modelli di vocazione economica.
Si presta particolare attenzione ai problemi di massimizzazione e minimizzazione di funzioni di più variabili e a semplici ma rilevanti applicazioni in economia.
Si presta particolare attenzione ai problemi di massimizzazione e minimizzazione di funzioni di più variabili e a semplici ma rilevanti applicazioni in economia.
Risultati di apprendimento attesi
Alla fine di "Matematica II", gli studenti dovrebbero aver acquisito i fondamenti del calcolo in due (o più) variabili. In particolare, gli studenti dovrebbero aver acquisito le seguenti competenze.
a) Conoscenza e comprensione
a.1) Conoscenza delle definizioni di base del calcolo in più variabili e algebra lineare;
a.2) Interpretazione delle suddette definizioni in termini di proprietà geometriche, supportata da una serie di esempi cruciali.
b) Capacità di applicare conoscenze e comprensione
b.1) Capacità di calcolare/disegnare, per funzioni di più variabili: domini, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari, limiti (lungo restrizioni), approssimazioni lineari, piani tangenti;
b.2) Capacità di massimizzare/minimizzare una funzione a due variabili, mediante: proprietà di concavità/convessità; restrizione su un sottoinsieme compatto del dominio (Teorema di Weierstrass); metodo di Lagrange;
b.3) Capacità di applicare gli strumenti sopra descritti a esempi di vocazione economica/manageriale.
c) Abilità di apprendimento
c.1) Miglioramento della capacità di gestire un linguaggio formale, fare deduzioni logiche; potenziamento del pensiero razionale rigoroso;
c.2) Miglioramento della capacità di tradurre un problema in termini formali, risolverlo e interpretare la soluzione in termini del problema originale.
a) Conoscenza e comprensione
a.1) Conoscenza delle definizioni di base del calcolo in più variabili e algebra lineare;
a.2) Interpretazione delle suddette definizioni in termini di proprietà geometriche, supportata da una serie di esempi cruciali.
b) Capacità di applicare conoscenze e comprensione
b.1) Capacità di calcolare/disegnare, per funzioni di più variabili: domini, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari, limiti (lungo restrizioni), approssimazioni lineari, piani tangenti;
b.2) Capacità di massimizzare/minimizzare una funzione a due variabili, mediante: proprietà di concavità/convessità; restrizione su un sottoinsieme compatto del dominio (Teorema di Weierstrass); metodo di Lagrange;
b.3) Capacità di applicare gli strumenti sopra descritti a esempi di vocazione economica/manageriale.
c) Abilità di apprendimento
c.1) Miglioramento della capacità di gestire un linguaggio formale, fare deduzioni logiche; potenziamento del pensiero razionale rigoroso;
c.2) Miglioramento della capacità di tradurre un problema in termini formali, risolverlo e interpretare la soluzione in termini del problema originale.
Prerequisiti
Il contenuto e la comprensione di "Matematica I" e tutti i suoi prerequisiti sono considerati noti.
Contenuti
Per il MODULO I:
a) Derivata di una funzione
a.1) Definizione e interpretazione geometrica. Regole di differenziazione.
a.2) Approssimazione lineare.
a.3) Funzioni crescenti/decrescenti.
a.4) Tassi di cambiamento e applicazioni a esempi economici.
a.5) Derivata dell'inversa.
b) Limiti
b.1) Definizione. Operazioni con i limiti. Forme indefinite.
b.2) Regola di L'Hôpital.
b.3) Limiti notevoli. Confronto tra infiniti di diverso ordine.
b.4) Cambio di variabili nei limiti.
c) Funzioni continue
c.1) Definizione ed esempi.
c.2) Condizioni necessarie e sufficienti di continuità tramite limiti sinistri/destri. Applicazione a funzioni definite a tratti.
c.3) Teorema del valore intermedio e applicazioni.
c.4) Derivata sinistra/destra. Condizioni sufficienti di derivabilità tramite limiti sinistri e destri.
c.5) Legami tra continuità e derivabilità.
d) Ottimizzazione
d.1) Definizione di punto di massimo e minimo. Punti stazionari.
d.2) Condizioni di ottimalità del primo e secondo ordine.
d.3) Teorema di Weierstrass. Ottimizzazione su un intervallo compatto.
d.4) Esempi economici.
e) Concavità/Convessità
e.1) Insiemi convessi.
e.2) Definizione di funzioni convesse e concave.
e.3) Condizioni necessarie e sufficienti di convessità.
e.4) Punti di flessione. Convessità e derivata seconda.
e.5) Esempi di funzioni concave significative in Economia.
f) Integrazione
f.1) Regole di integrazione, primitiva.
f.2) Integrale di Riemann, integrali definiti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni integrali.
f.3) Esempi economici.
f.4) Integrali impropri.
Per il MODULO II:
a) Funzioni di più variabili
a.1) Sottoinsiemi di R^n: punti interni/di frontiera, insiemi aperti/chiusi, insiemi limitati, insiemi compatti.
a.2) Domini naturali e la loro rappresentazione nel piano. Grafici.
a.3) Curve di livello e la loro rappresentazione nel piano.
b) Derivate parziali
b.1) Derivate parziali del primo ordine.
b.2) Derivate parziali del secondo ordine, matrice Hessiana.
b.3) Approssimazione lineare; piano tangente.
c) Continuità e Differenziabilità in R^n
c.1) Definizione di funzione continua.
c.2) Continuità rispetto a differenziabilità. Funzioni della classe C^1. Esempi e controesempi.
c.3) Punti stazionari.
d) Ottimizzazione non vincolata in R^2
d.1) Definizione di massimi/minimi, locali e globali, in R^2.
d.2) Condizioni di ottimalità del primo ordine.
d.3) Funzioni concave/convesse; condizioni di ottimalità del secondo ordine.
d.4) Punti di flessione.
e) Funzioni implicite
e.1) Il teorema della catena.
e.2) Il teorema delle funzioni implicite e applicazioni.
f) Ottimizzazione vincolata in R^2
f.1) Teorema di Weierstrass. Applicazione a esempi.
f.2) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per una funzione di 2 variabili, soggetta a 1 vincolo di uguaglianza.
f.3) Applicazioni economiche: massimizzazione della produzione con vincoli di bilancio; minimizzazione delle spese con vincoli di produzione.
g) Algebra lineare
g.1) Vettori e indipendenza lineare.
g.2) Matrici e operazioni su matrici.
g.3) Determinanti. Espansione tramite cofattori.
g.4) Matrici invertibili. Inversa di una matrice.
h) Sistemi lineari
h.1) Eliminazione gaussiana. Rango di una matrice.
h.2) Teorema di Rouché-Capelli.
h.3) Soluzione di un sistema lineare mediante eliminazione gaussiana.
h.4) Applicazione a problemi economici/manageriali.
a) Derivata di una funzione
a.1) Definizione e interpretazione geometrica. Regole di differenziazione.
a.2) Approssimazione lineare.
a.3) Funzioni crescenti/decrescenti.
a.4) Tassi di cambiamento e applicazioni a esempi economici.
a.5) Derivata dell'inversa.
b) Limiti
b.1) Definizione. Operazioni con i limiti. Forme indefinite.
b.2) Regola di L'Hôpital.
b.3) Limiti notevoli. Confronto tra infiniti di diverso ordine.
b.4) Cambio di variabili nei limiti.
c) Funzioni continue
c.1) Definizione ed esempi.
c.2) Condizioni necessarie e sufficienti di continuità tramite limiti sinistri/destri. Applicazione a funzioni definite a tratti.
c.3) Teorema del valore intermedio e applicazioni.
c.4) Derivata sinistra/destra. Condizioni sufficienti di derivabilità tramite limiti sinistri e destri.
c.5) Legami tra continuità e derivabilità.
d) Ottimizzazione
d.1) Definizione di punto di massimo e minimo. Punti stazionari.
d.2) Condizioni di ottimalità del primo e secondo ordine.
d.3) Teorema di Weierstrass. Ottimizzazione su un intervallo compatto.
d.4) Esempi economici.
e) Concavità/Convessità
e.1) Insiemi convessi.
e.2) Definizione di funzioni convesse e concave.
e.3) Condizioni necessarie e sufficienti di convessità.
e.4) Punti di flessione. Convessità e derivata seconda.
e.5) Esempi di funzioni concave significative in Economia.
f) Integrazione
f.1) Regole di integrazione, primitiva.
f.2) Integrale di Riemann, integrali definiti. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni integrali.
f.3) Esempi economici.
f.4) Integrali impropri.
Per il MODULO II:
a) Funzioni di più variabili
a.1) Sottoinsiemi di R^n: punti interni/di frontiera, insiemi aperti/chiusi, insiemi limitati, insiemi compatti.
a.2) Domini naturali e la loro rappresentazione nel piano. Grafici.
a.3) Curve di livello e la loro rappresentazione nel piano.
b) Derivate parziali
b.1) Derivate parziali del primo ordine.
b.2) Derivate parziali del secondo ordine, matrice Hessiana.
b.3) Approssimazione lineare; piano tangente.
c) Continuità e Differenziabilità in R^n
c.1) Definizione di funzione continua.
c.2) Continuità rispetto a differenziabilità. Funzioni della classe C^1. Esempi e controesempi.
c.3) Punti stazionari.
d) Ottimizzazione non vincolata in R^2
d.1) Definizione di massimi/minimi, locali e globali, in R^2.
d.2) Condizioni di ottimalità del primo ordine.
d.3) Funzioni concave/convesse; condizioni di ottimalità del secondo ordine.
d.4) Punti di flessione.
e) Funzioni implicite
e.1) Il teorema della catena.
e.2) Il teorema delle funzioni implicite e applicazioni.
f) Ottimizzazione vincolata in R^2
f.1) Teorema di Weierstrass. Applicazione a esempi.
f.2) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per una funzione di 2 variabili, soggetta a 1 vincolo di uguaglianza.
f.3) Applicazioni economiche: massimizzazione della produzione con vincoli di bilancio; minimizzazione delle spese con vincoli di produzione.
g) Algebra lineare
g.1) Vettori e indipendenza lineare.
g.2) Matrici e operazioni su matrici.
g.3) Determinanti. Espansione tramite cofattori.
g.4) Matrici invertibili. Inversa di una matrice.
h) Sistemi lineari
h.1) Eliminazione gaussiana. Rango di una matrice.
h.2) Teorema di Rouché-Capelli.
h.3) Soluzione di un sistema lineare mediante eliminazione gaussiana.
h.4) Applicazione a problemi economici/manageriali.
Testi di riferimento
K. Sydsaeter, P. Hammond and A. Strom, Essential Mathematics for Economic Analysis, Pearson.
Inoltre, le slide delle lezioni, esercizi per casa e i precedenti esami (risolti) sono disponibili sulla pagina moodle del corso.
Inoltre, le slide delle lezioni, esercizi per casa e i precedenti esami (risolti) sono disponibili sulla pagina moodle del corso.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La valutazione finale dell’insegnamento è integrata con quella del modulo Mathematics I, secondo le modalità descritte di seguito.
L’esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta verifica in particolare la capacità di applicare gli strumenti matematici del corso alla risoluzione di esercizi e problemi; la prova orale verifica la comprensione teorica degli argomenti, la capacità di discutere lo scritto e l’uso corretto del linguaggio matematico.
La prova scritta include tutti gli argomenti trattati in Matematica I e Matematica II. Essa consiste in 6 problemi, di cui 3 relativi agli argomenti di Matematica I e 3 relativi agli argomenti di Matematica II, da risolvere in un tempo complessivo di 2 ore e 30 minuti. Le abilità acquisite dagli studenti sono verificate attraverso la risoluzione dei problemi proposti; la conoscenza teorica è verificata richiedendo di giustificare in dettaglio le risposte sulla base dei risultati teorici rilevanti, quali definizioni e teoremi.
Durante lo svolgimento della prova scritta non è consentito l’uso di dispositivi elettronici di alcun tipo, incluse le calcolatrici.
La prova orale si svolge nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta. Per essere ammessi alla prova orale è necessario conseguire almeno 16 punti nella prova scritta. La prova orale inizia con la discussione della prova scritta e può poi estendersi, se necessario, agli altri argomenti del corso.
L’esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta verifica in particolare la capacità di applicare gli strumenti matematici del corso alla risoluzione di esercizi e problemi; la prova orale verifica la comprensione teorica degli argomenti, la capacità di discutere lo scritto e l’uso corretto del linguaggio matematico.
La prova scritta include tutti gli argomenti trattati in Matematica I e Matematica II. Essa consiste in 6 problemi, di cui 3 relativi agli argomenti di Matematica I e 3 relativi agli argomenti di Matematica II, da risolvere in un tempo complessivo di 2 ore e 30 minuti. Le abilità acquisite dagli studenti sono verificate attraverso la risoluzione dei problemi proposti; la conoscenza teorica è verificata richiedendo di giustificare in dettaglio le risposte sulla base dei risultati teorici rilevanti, quali definizioni e teoremi.
Durante lo svolgimento della prova scritta non è consentito l’uso di dispositivi elettronici di alcun tipo, incluse le calcolatrici.
La prova orale si svolge nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta. Per essere ammessi alla prova orale è necessario conseguire almeno 16 punti nella prova scritta. La prova orale inizia con la discussione della prova scritta e può poi estendersi, se necessario, agli altri argomenti del corso.
Modalità di esame
scritto e orale
Il/la docente ha il dovere di vigilare affinché siano rispettate le regole di autenticità e originalità delle prove d'esame. Di conseguenza, nei casi in cui vi sia il sospetto di un comportamento irregolare, l'esame può prevedere un ulteriore approfondimento, contestuale alla prova d'esame, che potrà essere realizzato anche in modalità differente rispetto alle modalità sopra riportate.
Graduazione dei voti
Il punteggio dell’esame scritto varia da 0 a 30 punti e rappresenta il voto in trentesimi. Ulteriori quesiti più complessi, per un totale massimo di 6 punti, possono essere aggiunti per permettere l’eventuale attribuzione della lode.
I 30 punti ordinari sono così distribuiti:
* 22-24 punti per le domande di base;
* 6-8 punti per le domande di difficoltà moderata.
* 6 punti per le domande più complesse.
Le risposte non adeguatamente giustificate avranno valore nullo. È quindi importante spiegare chiaramente cosa si sta facendo e perché.
Per essere ammesso all'orale, lo studente deve guadagnare almeno 8 punti nella prima parte, corrispondente a Mathematics I (esercizi 1-3) e 8 punti nella seconda parte, corrispondente a Mathematics II (esercizi 4-6).
A discrezione del docente e se le condizioni lo consentono, la prova scritta può essere sostituita da due prove parziali, in aggiunta agli appelli ufficiali, da sostenersi prima del primo appello ufficiale. La prima prova parziale si svolge immediatamente dopo la conclusione del modulo di Mathematics I, la seconda al termine del modulo di Mathematics II. Le due prove seguono gli stessi criteri di valutazione previsti per la prova scritta finale. Le prove parziali hanno il duplice scopo di incoraggiare uno studio regolare durante il corso e di permettere agli studenti di frazionare lo studio, capitalizzando in anticipo i risultati conseguiti.
L’esame orale ha soprattutto una funzione di conferma della valutazione ottenuta nello scritto e, in media, può modificare tale valutazione di un intervallo compreso tra -3 e +3 punti. Questa indicazione va intesa come una descrizione orientativa di ciò che può accadere, non come una regola formale di attribuzione del punteggio.
In particolare, qualora emergessero gravi discrepanze tra la valutazione dello scritto e quella dell’orale, prevarrà la valutazione dell’orale, senza vincoli di punteggio.
I 30 punti ordinari sono così distribuiti:
* 22-24 punti per le domande di base;
* 6-8 punti per le domande di difficoltà moderata.
* 6 punti per le domande più complesse.
Le risposte non adeguatamente giustificate avranno valore nullo. È quindi importante spiegare chiaramente cosa si sta facendo e perché.
Per essere ammesso all'orale, lo studente deve guadagnare almeno 8 punti nella prima parte, corrispondente a Mathematics I (esercizi 1-3) e 8 punti nella seconda parte, corrispondente a Mathematics II (esercizi 4-6).
A discrezione del docente e se le condizioni lo consentono, la prova scritta può essere sostituita da due prove parziali, in aggiunta agli appelli ufficiali, da sostenersi prima del primo appello ufficiale. La prima prova parziale si svolge immediatamente dopo la conclusione del modulo di Mathematics I, la seconda al termine del modulo di Mathematics II. Le due prove seguono gli stessi criteri di valutazione previsti per la prova scritta finale. Le prove parziali hanno il duplice scopo di incoraggiare uno studio regolare durante il corso e di permettere agli studenti di frazionare lo studio, capitalizzando in anticipo i risultati conseguiti.
L’esame orale ha soprattutto una funzione di conferma della valutazione ottenuta nello scritto e, in media, può modificare tale valutazione di un intervallo compreso tra -3 e +3 punti. Questa indicazione va intesa come una descrizione orientativa di ciò che può accadere, non come una regola formale di attribuzione del punteggio.
In particolare, qualora emergessero gravi discrepanze tra la valutazione dello scritto e quella dell’orale, prevarrà la valutazione dell’orale, senza vincoli di punteggio.
Metodi didattici
L'apprendimento avviene attraverso lezioni frontali ed esercitazioni, oltre che con il ricevimento settimanale. In particolare, durante il corso, il ricevimento è collettivo. Gli studenti possono fare domande o semplicemente sedersi ad ascoltare le domande degli altri studenti e le risposte dell'insegnante. È anche possibile avere ulteriore aiuto su appuntamento.
Lo studio è supportato da materiali disponibili per il download sulla pagina Moodle del corso, inclusi:
a) l'insieme completo di slide/appunti delle lezioni;
b) un foglio settimanale di esercizi per casa;
c) testo e soluzione degli esami precedenti;
d) tutte le informazioni rilevanti sul corso e aggiornamenti in tempo reale.
Lo studio è supportato da materiali disponibili per il download sulla pagina Moodle del corso, inclusi:
a) l'insieme completo di slide/appunti delle lezioni;
b) un foglio settimanale di esercizi per casa;
c) testo e soluzione degli esami precedenti;
d) tutte le informazioni rilevanti sul corso e aggiornamenti in tempo reale.
Altre informazioni
Gli studenti devono registrarsi nel corso correlato sulla piattaforma di apprendimento online dell'università moodle.unive.it.
Accessibilità, Disabilità e Inclusione
Alloggio e servizi di supporto per gli studenti con disabilità e studenti con specifiche difficoltà di apprendimento
Ca' Foscari si attiene alla Legge italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) riguardante i servizi di supporto e gli alloggi disponibili per gli studenti con disabilità. Ciò include studenti con disabilità motorie, visive, uditive e altre disabilità (Legge 17/1999), e specifiche difficoltà di apprendimento (Legge 170/2010). Se hai una disabilità o un disturbo che richiede supporti (ad esempio, test alternativi, lettori, prenditori di appunti o interpreti), ti preghiamo di contattare gli Uffici per la Disabilità e l'Accessibilità nei Servizi agli Studenti: disabilita@unive.it.
Accessibilità, Disabilità e Inclusione
Alloggio e servizi di supporto per gli studenti con disabilità e studenti con specifiche difficoltà di apprendimento
Ca' Foscari si attiene alla Legge italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) riguardante i servizi di supporto e gli alloggi disponibili per gli studenti con disabilità. Ciò include studenti con disabilità motorie, visive, uditive e altre disabilità (Legge 17/1999), e specifiche difficoltà di apprendimento (Legge 170/2010). Se hai una disabilità o un disturbo che richiede supporti (ad esempio, test alternativi, lettori, prenditori di appunti o interpreti), ti preghiamo di contattare gli Uffici per la Disabilità e l'Accessibilità nei Servizi agli Studenti: disabilita@unive.it.
Programma definitivo.
Data ultima modifica programma: 30/06/2026