ANALISI MATEMATICA I

Il corso di ANALISI MATEMATICA I è una delle attività formative fondamentali del corso di laurea in Ingegneria, in quanto offre alle studentesse e agli studenti rigorosi strumenti logici e matematici per formulare, affrontare e risolvere i problemi che incontreranno in tutte le discipline scientifiche. L'obiettivo formativo specifico di questo insegnamento è dare un fondamento rigoroso al concetto di limite per le funzioni reali di una variabile reale. Questo permette definire la continuità, la derivazione e l'integrazione di funzioni, nonché di studiare il comportamento all'infinito delle successioni e le serie numeriche.

1) Apprendere le caratteristiche fondamentali del rigore metodologico e del ragionamento logico alla base del metodo scientifico.
2) Conoscere il fondamento assiomatico della matematica e le principali tecniche dimostrative, come il principio di induzione. Comprendere la necessità di un fondamento rigoroso per gli strumenti matematici, quali il linguaggio formale e il calcolo simbolico. Conoscere i legami concettuali tra teoria degli insiemi, aritmetica, algebra e geometria. Comprendere come da queste nozioni prenda forma il calcolo infinitesimale, comprendente le nozioni di limite di derivata e di integrale.
3) Comprendere come la correttezza formale del ragionamento simbolico permette l'impiego di concetti e strumenti tecnologici complessi e giustifica i risultati ottenuti in tale modo in tutte le discipline scientifiche.

Una condizione necessaria è una preparazione di base nei contenuti dei primi quattro anni di una generica scuola secondaria di secondo grado (algebra e geometria elementari, geometria analitica, funzioni, equazioni e disequazioni algebriche e trascendenti, proprietà e grafici delle funzioni principali quali funzioni lineari, potenze, funzioni polinomiali, goniometriche, esponenziali e logaritmi.
Consigliata è la frequenza del PRECORSO-MATEMATICA GENERALE [CT0110], specialmente per gli studenti che non abbiano già incontrato i concetti dell'analisi matematica nella scuola secondaria.

1. Elementi di logica e teoria degli insiemi. Calcolo combinatorio.
2. Insiemi numerici. Principio di induzione. Irrazionalità di radice di 2.
3. Campi ordinati. Topologia della retta reale. Allineamenti decimali. Confronti di insiemi infiniti. Non numerabilità di R. Completezza.
4. Funzioni e loro proprietà. Invertibilità. Trasformazioni dei grafici. Simmetrie. Funzioni elementari.
5. Infinitesimi e infiniti. Numeri iperreali. Limiti di funzioni. Forme indeterminate e loro soluzione. Limiti notevoli.
6. Successioni. Gerarchie di infiniti. Successioni di Cauchy e completezzza. Serie numeriche. Criteri di convergenza.
7. Continuità. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di Weierstrass.
8. Derivata come coefficiente angolare della tangente e come tasso di crescita. Regole di derivazione. Teorema di de l'Hopital. Teorema di Taylor e calcolo di limiti.
9. Integrazione alla Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di integrazione elementari. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali. Funzioni non elementarmente integrabili. Integrali generalizzati. Volume e superficie dei solidi di rotazione.

Per ogni lezione verranno fornite delle dispense a supporto dello studio individuale

Testi di riferimento:
A. Marson, P. Baiti, F. Ancona, B. Rubino: Analisi matematica 1. Teoria e applicazioni, Carocci
M. Lanza de Cristoforis, Lezioni di Analisi Matematica 1, Esculapio
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercizi di matematica, Vol. 1 (Tomi 1-4), Liguori
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica 1, Zanichelli
G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di calcolo in una variabile, Zanichelli/Decibel
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

L'esame consiste in una prova scritta, che comprende sia domande teoriche (definizioni, enunciati e alcune dimostrazioni che verranno indicate durante il corso), sia esercizi su tutti gli argomenti studiati a lezione. Nella prova scritta saranno valutate la correttezza dell’esposizione, la chiarezza e la completezza delle giustificazioni, la conoscenza del linguaggio scientifico e l'abilità nell'utilizzo degli strumenti dell'analisi matematica. La prova scritta avrà una durata di tre ore circa. Quando si ritenesse necessario, i docenti si riservano la possibilità di richiedere un'integrazione orale della prova scritta.

scritto

Il/la docente ha il dovere di vigilare affinché siano rispettate le regole di autenticità e originalità delle prove d'esame. Di conseguenza, nei casi in cui vi sia il sospetto di un comportamento irregolare, l'esame può prevedere un ulteriore approfondimento, contestuale alla prova d'esame, che potrà essere realizzato anche in modalità differente rispetto alle modalità sopra riportate.

18-21: Comprensione di base degli argomenti essenziali. Riesce a portare a termine esercizi standard e puramente meccanici, ma presenta lacune teoriche significative e ha difficoltà a comprendere le dimostrazioni o a impostare problemi appena fuori dagli schemi consueti.
22-23: Discreta padronanza dei metodi di calcolo principali. Imposta e risolve correttamente la maggior parte degli esercizi, pur incappando in qualche imprecisione computazionale. La teoria viene ricordata in modo per lo più mnemonico: lo studente fatica a giustificare rigorosamente i passaggi, ad applicare i teoremi in contesti non elementari o a collegare tra loro concetti diversi.
24-27: Buona comprensione pratica e teorica. Gestisce con sicurezza l'impostazione dei problemi complessi previsti dal programma. Applica correttamente i metodi risolutivi e comprende il significato analitico e geometrico dei teoremi, ma il rigore nel giustificare i passaggi logici e le dimostrazioni manca ancora di totale fluidità formale.
28-29: Solida competenza computazionale e teorica. Sa calcolare, interpretare e giustificare i risultati unendo abilmente l'abilità analitica ai fondamenti teorici del corso. Utilizza una terminologia logico-matematica appropriata ed espone teoremi e concetti con ottima chiarezza formale e strutturale.
30: Padroneggia l'intero programma in modo completo ed esaustivo. Struttura le risposte in modo impeccabile, dimostrando una comprensione profonda dei concetti dell'analisi matematica, unita a un'eccellente capacità espositiva nelle dimostrazioni e a una pressoché totale assenza di errori di calcolo rilevanti nell'applicazione pratica.
30 e lode: Intuizione analitica eccezionale e spiccato pensiero logico-critico. Dimostra una padronanza assoluta della materia, muovendosi tra l'estremo rigore matematico e le sue applicazioni pratiche con eleganza e rapidità. Argomenta le dimostrazioni e i concetti teorici in modo brillante e autonomo, denotando una maturità che va ben oltre la semplice assimilazione delle nozioni.

Lezioni frontali di teoria ed esercizi, uso della lavagna per la lezione frontale.
Attraverso la piattaforma “moodle” di Ateneo sarà reso disponibile del materiale preparatorio e integrativo.

Accomodamenti e Servizi di Supporto per studenti con disabilità o con disturbi specifici dell’apprendimento:
Ca’ Foscari applica la Legge Italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) per i servizi di supporto e di accomodamento disponibili agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell’apprendimento. In caso di disabilità motoria, visiva, dell’udito o altre disabilità (Legge 17/1999) o un disturbo specifico dell’apprendimento (Legge 170/2010) e si necessita di supporto (assistenza in aula, ausili tecnologici per lo svolgimento di esami o esami individualizzati, materiale in formato accessibile, recupero appunti, tutorato specialistico a supporto dello studio, interpreti o altro), si contatti l’ufficio Disabilità e DSA disabilita@unive.it.