FINANCIAL MATHEMATICS

Il corso di Calcolo Stocastico ha un ruolo fondamentale nel percorso formativo. Introduce gli strumenti teorici alla base dell’approccio matematico alla finanza, tra cui le equazioni differenziali ordinarie e stocastiche e il calcolo di Itô. Durante il corso, tali strumenti vengono applicati a problemi di economia e finanza, con particolare attenzione alla determinazione del prezzo delle opzioni.

Alla fine del corso, gli studenti dovrebbero aver acquisito i fondamenti del calcolo stocastico. Lo scopo è, da un lato, stabilire basi comuni con i teorici al fine di migliorare la comunicazione e, dall'altro lato, contribuire allo sviluppo del pensiero critico per comprendere i vantaggi e le criticità dei modelli in uso.
Più specificamente:

a) Conoscenza e comprensione
a.1) Conoscenza delle definizioni degli strumenti di base del calcolo stocastico, come: processi stocastici, filtrazioni, integrali e differenziali stocastici, equazioni differenziali ordinarie e stocastiche.
a.2) Interpretazione delle suddette definizioni mediante una serie di esempi finanziari cruciali.

b) Capacità di applicare conoscenze e comprensione
b.1) Capacità di calcolare: soluzioni di semplici equazioni differenziali ordinarie e stocastiche; differenziali stocastici; integrali stocastici (Itô).
b.2) Capacità di analizzare le proprietà dei processi stocastici su spazi di probabilità infiniti, come valore medio e varianza, comportamento nel lungo periodo.
b.3) Capacità di derivare l'equazione di Black e Scholes come risultato di (b.1) e (b.2).

c) Giudizi:
c.1) Migliorata capacità di comprendere criticamente prospettive, vantaggi e criticità degli strumenti utilizzati nella finanza matematica.

d) Comunicazione
d.1) Capacità di presentare, discutere e dimostrare la correttezza matematica della determinazione del prezzo delle opzioni tramite il modello di Black e Scholes;
d.2) Capacità di interagire con progettisti di modelli finanziari e teorici.

e) Abilità di apprendimento (per la vita)
e.1) Migliorata capacità di gestire un linguaggio formale, fare deduzioni logiche; potenziamento del pensiero razionale rigoroso;
e.2) Migliorata capacità di tradurre un problema in termini formali, risolverlo e interpretare la soluzione in termini del problema originale.

I prerequisiti per il corso sono:
- le principali tecniche di integrazione per funzioni di una variabile,
- il calcolo per più variabili è considerato noto,
- le basi della teoria della probabilità.

a) Equazioni differenziali ordinarie
a.1) Definizione di base, esempi economici/finanziari.
a.2) Equazioni separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
a.4) Esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Studio qualitativo delle equazioni differenziali ordinarie.
a.5) Un'applicazione: il modello di Solow per la crescita economica.

b) Processi stocastici
b.1) Variabili casuali, processi stocastici. Esempi di processi stocastici in finanza.
b.2) Sigma-algebre e filtrazioni.
b.3) Aspettativa condizionale. Martingale. Significato dell'aspettativa condizionale e della proprietà di martingala negli esempi finanziari.

c) Moto Browniano
c.1) Introduzione di una perturbazione gaussiana in un'equazione differenziale. Definizione di processo di Wiener/moto Browniano.
c.2) Costruzione di un moto Browniano come limite di random walk.
c.3) Proprietà del moto Browniano (distribuzione normale degli incrementi, variazione quadratica, proprietà di martingala).

d) Integrale di Ito
d.1) Costruzione dell'integrale come limite di integrali di processi semplici approssimanti.
d.2) Proprietà dell'integrale di Ito.
d.3) Processi di Ito; formula di Ito-Doeblin.

e) Equazioni differenziali stocastiche
e.1) Equazioni lineari.
e.2) Moto Browniano geometrico; formula analitica, valore atteso.
e.3) Il modello di tasso d'interesse di Vasicek.
e.4) Il modello di tasso d'interesse di Cox-Ingersoll-Ross.

f) Modello di Black e Scholes per opzioni call europee
f.1) Impostazione del modello, ipotesi.
f.2) Derivazione dell'equazione di BS.
f.3) Greche
f.4) Il teorema di Feynman-Kač. Applicazione al modello di Black-Scholes, interpretazione.

Steven E. Shreve (2000)," Stochastic Calculus for Finance II". Continuous Time Models, Springer, Chapters 1 – 4.

Tomas Bjork, "Arbitrage Theory in Continuous Time", Oxford University Press.

Appunti di lezione e slide

L’esame si articola in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta verifica in particolare la capacità di applicare gli strumenti matematici del corso alla risoluzione di esercizi e problemi; la prova orale verifica la comprensione teorica degli argomenti, la capacità di discutere lo scritto e l’uso corretto del linguaggio matematico.

L'esame scritto ha una durata approssimativa di 2,5 ore e consiste in 5 domande, di cui:

a) 2-3 sono dissertazioni teoriche su un argomento dato, destinate a verificare la conoscenza degli studenti sugli argomenti del corso;
b) 2-3 sono esercizi da risolvere (simili a quelli discussi durante le lezioni e le sessioni pratiche) destinati a verificare la capacità degli studenti di applicare la loro conoscenza teorica alla risoluzione dei problemi.

Le abilità acquisite dagli studenti sono verificate attraverso la risoluzione dei problemi proposti; la conoscenza teorica è verificata richiedendo di giustificare in dettaglio le risposte sulla base dei risultati teorici rilevanti, quali definizioni e teoremi.

Durante lo svolgimento della prova scritta non è consentito l’uso di dispositivi elettronici di alcun tipo, incluse le calcolatrici.

La prova orale si svolge nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta. Per essere ammessi alla prova orale è necessario conseguire almeno 16 punti nella prova scritta. La prova orale inizia con la discussione della prova scritta e può poi estendersi, se necessario, agli altri argomenti del corso.

scritto e orale

Il/la docente ha il dovere di vigilare affinché siano rispettate le regole di autenticità e originalità delle prove d'esame. Di conseguenza, nei casi in cui vi sia il sospetto di un comportamento irregolare, l'esame può prevedere un ulteriore approfondimento, contestuale alla prova d'esame, che potrà essere realizzato anche in modalità differente rispetto alle modalità sopra riportate.

Il punteggio dell’esame scritto varia da 0 a 30 punti e rappresenta il voto in trentesimi. Ulteriori quesiti più complessi, per un totale massimo di 6 punti, possono essere aggiunti per permettere l’eventuale attribuzione della lode.

I 30 punti ordinari sono così distribuiti:

* 22-24 punti per le domande di base;
* 6-8 punti per le domande di difficoltà moderata.
* 6 punti per le domande più complesse.

Le risposte non adeguatamente giustificate avranno valore nullo. È quindi importante spiegare chiaramente cosa si sta facendo e perché.

L’esame orale ha soprattutto una funzione di conferma della valutazione ottenuta nello scritto e, in media, può modificare tale valutazione di un intervallo compreso tra -3 e +3 punti. Questa indicazione va intesa come una descrizione orientativa di ciò che può accadere, non come una regola formale di attribuzione del punteggio.
In particolare, qualora emergessero gravi discrepanze tra la valutazione dello scritto e quella dell’orale, prevarrà la valutazione dell’orale, senza vincoli di punteggio.

L'apprendimento avviene attraverso lezioni frontali ed esercitazioni, oltre che con il ricevimento settimanale. In particolare, durante il corso, il ricevimento è collettivo. Gli studenti possono fare domande o semplicemente sedersi ad ascoltare le domande degli altri studenti e le risposte dell'insegnante. È anche possibile avere ulteriore aiuto su appuntamento.

Lo studio è supportato da materiali disponibili per il download sulla pagina Moodle del corso, inclusi:

a) l'insieme completo di slide/appunti delle lezioni;
b) un foglio settimanale di esercizi per casa;
c) testo e soluzione degli esami precedenti;
d) tutte le informazioni rilevanti sul corso e aggiornamenti in tempo reale.

I materiali del corso sono resi disponibili per il download su moodle.unive.it. Si noti che la conoscenza dei principali metodi di integrazione delle funzioni di una variabile è considerata obbligatoria (poiché la maggior parte degli esercizi presentati nel corso richiede la risoluzione di integrali). In particolare, gli studenti devono essere in grado di integrare per parti e per sostituzione, nonché di integrare semplici funzioni razionali.

Accessibilità, Disabilità e Inclusione
Alloggio e servizi di supporto per gli studenti con disabilità e studenti con specifiche difficoltà di apprendimento

Ca' Foscari si attiene alla Legge italiana (Legge 17/1999; Legge 170/2010) riguardante i servizi di supporto e gli alloggi disponibili per gli studenti con disabilità. Ciò include studenti con disabilità motorie, visive, uditive e altre disabilità (Legge 17/1999), e specifiche difficoltà di apprendimento (Legge 170/2010). Se hai una disabilità o un disturbo che richiede supporti (ad esempio, test alternativi, lettori, prenditori di appunti o interpreti), ti preghiamo di contattare gli Uffici per la Disabilità e l'Accessibilità nei Servizi agli Studenti: disabilita@unive.it.