Mathematical Modelling and Programming

Il corso è inserito nel primo trimestre del PhD e Master’s Programmes in Science and Management of Climate Change. Si pone come uno degli insegnamenti fondamentali per fornire agli studenti gli strumenti matematici e computazionali necessari per comprendere la dinamica dei sistemi socioeconomici e ambientali e applicare modelli dinamici per descriverne e prevederne il funzionamento e l’evoluzione. Il corso è un pilastro per la comprensione della modellistica ambientale e socioeconomica che verrà approfondita nelle applicazioni durante i corsi successivi.

1. Conoscenza e comprensione:
* Comprendere i fondamenti del calcolo multivariabile, algebra lineare, integrazione e ottimizzazione, con particolare attenzione all’applicazione nei modelli dinamici;
* Acquisire le basi per comprendere e risolvere equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici a tempo continuo e discreto;
* Saper definire e descrivere i fenomeni complessi legati ai sistemi ambientali e socio-economici, interpretandoli attraverso la dinamica dei sistemi;
* Acquisire gli strumenti teorici e metodologici necessari per sviluppare una visione sistemica dei fenomeni ambientali e socio-economici.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
* Saper scegliere e utilizzare gli strumenti matematici adeguati per descrivere e analizzare fenomeni complessi;
* Risolvere problemi applicativi relativi a sistemi dinamici tramite l’uso di modelli matematici;
* Poter affrontare problemi applicativi specifici relativi al cambiamento climatico con strumenti matematici trasversali.
3. Capacità di giudizio:
* Saper identificare potenzialità e limiti dei modelli matematici utilizzati nell’ambito della modellistica ambientale e socioeconomica.

Lo studente è tenuto a padroneggiare in modo approfondito i seguenti argomenti: teoria degli insiemi, algebra elementare, equazioni e disequazioni (sia di primo che di secondo grado, incluse disequazioni con valori assoluti, geometria analitica, funzioni e loro proprietà (dominio, codominio, iniettività, suriettività, composizione e inversa), trigonometria, funzioni esponenziali e logaritmiche con le rispettive proprietà.

È inoltre richiesto che lo studente possieda una conoscenza di base degli elementi fondamentali del calcolo, inclusi: limiti, continuità, derivate, integrali, proprietà di monotonìa e convessità, nonché nozioni essenziali su vettori e matrici.

È INDISPENSABILE che lo studente arrivi al corso già in possesso di queste competenze.

1. Introduzione:
- Presentazione del corso, verifica conoscenze pregresse.
2. Elementi di analisi
- Ripasso: derivate, integrali, sviluppi in serie di Taylor;
- Definizione di funzione multivariata, esempi. Derivate parziali. Gradiente, matrice Jacobiana ed Hessiana.
3. Algebra lineare applicata ai sistemi dinamici
- Ripasso: vettori, prodotto scalare e vettoriale, dipendenza e indipendenza lineare, matrici, somma e prodotto tra matrici, matrice trasposta, determinante, rango;
- Risoluzione sistemi di equzioni lineari;
- Autovalori, autovettori e loro ruolo nei sistemi dinamici.
4. Modelli di Sistemi Dinamici
- Definizione di sistema dinamico, sistema complesso, sistemi a tempo continuo e discreto, stabilità, equilibri. Esempi;
- Equazioni differenziali Ordinarie (EDO) 1: tipi di EDO, problema di Cauchy, esistenza e unicità delle soluzioni;
- Equazioni differenziali Ordinarie (EDO) 2: metodi risolutivi: variabili separabili, integrale generale di Lagrange. Equazioni alle differenze finite. Cenni alle equazioni differenziali del secondo ordine;
- Sistemi dinamici lineari;
- Cenni a dinamiche non lineari, teoria del caos e catastrofi.
5. Numerical method
- Applicazione dei metodi di Eulero e Runge-Kutta.
6. Ottimizzazione e controllo ottimo
- Ottimizzazione libera e vincolata, FOC, SOC, a una e più variabli. Moltiplicatori di Lagrange;
- Cenni alla teoria del controllo per sistemi dinamici.

La presenza a lezione è obbligatoria.
Il materiale didattico sarà reso disponibile durante le lezioni e caricato su Moodle.
Alcuni testi di riferimento saranno suggeriti nel corso delle lezioni.

La valutazione consisterà in una prova scritta finale, eventualmente seguita da un colloquio orale. Durante il corso potranno essere svolti alcuni test di verifica in itinere.

scritto e orale

Le lezioni si terranno in aula, con spiegazioni alla lavagna e con l'ausilio di materiali multimediali per facilitare l’intuizione e la comprensione dei concetti.